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double

Double-precision floating-point format, FP64 or float64

在 IEEE754 中, 64位 以 2 为底 的格式成为 binary64, 后绪在 IEEE754-1985 中称作 double

一个 x86_64 下的 double 占用 8 字节, 它可以表示大约 [2.22507385850720138309e-308, 1.79769313486231570815e+308] 的数字.

uint64_t 也是 8 字节, 但是却比这个数字少得 多得多. 通过一下实验可以看到 1e300 的不精确表示:

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#include <stdio.h>

int main()
{
    return printf("%f\n", 1e300);
    return 0;
}

主流设计采用 IEEE754 标准:

  • S - 1 bit - sign bit
  • E - 11 bit - exponent
  • F - 52 bit - fraction

E 是 biased exponent

\[ (-1)^{S} (1.b_{51}b_{50}\dots b_0)_2 \times 2^{E-1023} \]

其中, \(1023\) 被称为 exponent bias

\[ (-1)^{\text{S}}\left(1+\sum _{i=1}^{52}b_{52-i}2^{-i}\right)\times 2^{E-1023} \]

指数表述

  • \(0 \le E \le {7ff}_{16} = 2047\)
  • \(E = 0\) - Signed Zero
  • \(1 \le E \le 2046\) - Normal numbers
  • \(E = 2047\)
    • \(F = 0\) - Inf
    • \(F \neq 0\) - NaN

试验

使用 python 的大整数除法可以初步验证, 变形:

\[ (-1)^{\text{S}}\left(2^{52}+\sum _{i=0}^{51}b_{i}2^{i}\right)\times \frac{2^{E-1023}}{2^{52}} \]

舍入

计算好像一个大整数除法就结束了, 最难的部分 (据说), 是舍入. 但是对于 libc 而言, 标准 并没有要求精确舍入 ( ￣ー￣)σ

建模

big_pow2 预处理表

假设 $e = 10 = (1010)_2 = 2^1 + 2^3 $

big_div 小数位数

设 \(y = \frac{x}{2^e}\) (\(x\) 为变量, \(0 \le x \le 2^e\)), 求 y 的小数点后最多有几位小数?

\(\frac{1}{2^e} = \frac{5^e}{10^e} \Rightarrow y = \frac{x \cdot 5^e}{10^e}\), 则 \(y\) 小数点后最多有 \(e\) 位小数

references